Usando uma corda como exemplo, a velocidade de propagação de uma onda é proporcional à raiz quadrada da tensão e inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade. Ou seja, aumentando a tensão, aumenta-se a velocidade da propagação e aumentando-se a densidade da corda, a velocidade diminui.
Para uma corda, a velocidade de propagação é dada por:
VELOCIDADE DE UMA ONDA/ EQUAÇÃO DE UMA ONDA/ ONDA ESTACIONÁRIA VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO A velocidade da propagação da onda depende de duas características do meio:
Densidade: refere-se à quantidade de massa existente em uma porção unitária do meio. É medida em kg/m, kg/m2, ou kg/m3.
Elasticidade: toda vez que uma parte do meio é deslocada de sua posição de equilíbrio ou repouso por um agente externo, surge uma força que tende a trazer essa parte para a posição inicial.
Em uma superfície, se o meio é homogêneo e a velocidade de propagação é igual em todas as direções, as ondas serão circulares e suas frentes de onda estarão separadas por um comprimento de onda ().
Supondo o meio homogêneo, a onda se propaga nele com velocidade constante, dada por
V = S/t.
Mas, observe que, quando S = 1λ, t = T, pois o período T é o tempo que a onda demora para percorrer um comprimento de onda (1λ).
V = S/t
V = λ/T
V = λ/(1/f)
V = λ.f (essa equação é chamada equação fundamental da ondulatória).
ONDA ESTACIONÁRIAS
Na situação onde duas ondas periódicas de frequências, comprimentos de onda e amplitude iguais, propagando-se em sentidos contrários, superpõem-se em um dado meio, verifica-se formar uma figura de interferência chamada de onda estacionária. De fato, não se trata de uma onda, na acepção normal do termo, todavia de um singular padrão de interferência.
Na situação mais simples desse tipo de interferência é o que ocorre em uma corda esticada, na qual as ondas produzidas em uma das extremidades superpõem-se às ondas refletidas na extremidade oposta. Os pontos do meio no qual ela é estabelecida oscilam em MHS, com amplitudes que dependem da posição do ponto considerado.
Nos pontos de interferência construtiva (V), denominados ventres ou pontos ventrais, a amplitude de oscilação é máxima, correspondendo ao dobro da amplitude de cada onda constituinte.
ATIVIDADE 9
Veja os vídeos abaixo e a seguir execute as atividades solicitadas
Com base nos vídeos anteriores e os conhecimentos sobre velocidade de uma onda e ondas estacionárias, responda:a) Nas construções vistas nos vídeos o que gerou a movimentação ( vibração ou "balançar") destas construções? b) Como você explica (usando as ferramentas teóricas dadas pela teoria ondulatória) o sistema usado para minimizar os efeitos de vibração nas edificações?c) Se você fosse o engenheiro responsável pelo projeto de construção do novo prédio ao lado daquele que tem nos seus apartamentos piscinas em cada andar, como criar mecanismos que evitem o transbordamento da água das piscinas mesmo ocorrendo as vibrações?
Nessa postagem vou explicar qual objetivo desse experimento e explicar como realizar sua execução
Em primeiro lugar quero relembrar a função do experimento. O experimento serve de norte para nossas aulas, pois nosso conteúdo esta sendo desenvolvido para resolver um problema central. Na segunda parte do conteúdo para NPC o centro agora é tema ONDAS então elegemos o experimento INSTRUMENTO MUSICAL como objeto a ser desenvolvido como ponte para compreensão dos tópicos estudados. Abaixo vou explicar rapidamente um pouco sobre a física envolvida no experimento.
I DESCRIÇÃO
SOBRE A FÍSICA DOS INSTRUMENTOS MUSICAIS
Compreende-se que toda onda sonora é de
natureza mecânica longitudinal. Esta onda terá velocidade, frequência e
comprimento de onda ligado ao meio onde ela se propaga O som pode ser modelado
como uma soma de ondas harmônicas de amplitudes conhecidas A representação
dessa soma de ondas harmônicas é modelada no teorema do matemático
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Em seu teorema relaciona Fourier uma
série com somatório de senos e cossenos onde uma onda completa é escrita pelo
somatório das ondas harmônicas de amplitude bn e sua fase δn
(NUSSENZVEIG, 1981). Estesbn
e δn da equação a seguirtem os valores dos coefientes que
geram a solução da equação da onda sonora. Na transformada de
Fourier temos a amplitude de cada onda harmônica e as frequências associadas a
elas. O timbre é uma grandeza relativa à presença de frequências dos harmônicos
que compõe aquela onda sonora (OLIVEIRA, 2004).
Figura 1 Equações com os coeficientes de Fourier
A acústica é o estudo das ondas mecânicas que se
propagam em um meio material estão compreendidas na faixa de frequência entre
20 e 20000 Hz (NUSSENZVEIG, 1981). Para cada geometria de determinado
instrumento teremos uma relação de frequências e timbres que irão ser
característicos do mesmo como se observa na figura 2.
Os tubos recebem a designação de abertos e fechados, sendo os tubos abertos aqueles que têm as duas extremidades abertas (sendo uma delas próxima à embocadura) e os tubos fechados que são os que têm uma extremidade aberta (próxima à embocadura) e outra fechada.
As vibrações das colunas gasosas devem ser estudadas como ondas estacionárias resultantes da interferência do som enviado na embocadura com o som refletido na outra extremidade do tubo.
Em uma extremidade aberta o som reflete-se em fase, formando um ventre (interferência construtiva) e em uma extremidade fechada ocorre reflexão com inversão de fase, formando-se um nó de deslocamento (interferência destrutiva).
TUBOS ABERTOS
Considerando um tubo sonoro de comprimento ℓ, cujas ondas se propagam a uma velocidade v.
Assim as possíveis configurações de ondas estacionárias são:
Figura 3 Harmônicos tubo aberto
As formas de vibrar podem, partindo destes exemplos, ser generalizadas como:
E a frequência dos harmônicos será dada por:
Como n não tem restrições, no tubo aberto, obtêm-se frequências naturais de todos os harmônicos.
TUBOS FECHADOS
Considerando um tubo sonoro de comprimento ℓ, cujas ondas se propagam a uma velocidade v.
Assim as possíveis configurações de ondas estacionárias são:
Figura 4 Harmônicos tubo fechado
As formas de vibrar podem, partindo destes exemplos, ser generalizadas como:
E a frequência dos harmônicos deverá ser dada por:
Em um tubo fechado, obtêm-se somente frequências naturais dos harmônicos ímpares
III O XILOFONE COM GARRAFAS
O
Xilofone era um instrumento originalmente feito de paletas de maneira para
serem percutidas. Sugere-se que o mesmo
seja a montado usando um conjunto de garrafas ou copo para serem preenchidos de
líquido. Existe uma relação entre o som extraído ao se percutir o copo ou
garrafa e a quantidade de líquido.
MATERIAIS PARA CONSTRUIR EXPERIMENTO
- 7
garrafas de bebida com alturas de 15 a 20 cm (qualquer objeto de vidro de geometria cilíndrica regulas);
-
Objeto rígido para percutir nos copos;
- Líquido
colorido ( água + anilina );
- Régua;
- Afinador CifraClub (programa celular ou aparelho
eletrônico)
O experimento consiste em encher as garrafas e anotar o valor da altura do
liquido dentro dela conhecer para relacionar o som com quantidade de liquido. O valor da altura do espaço vazio servirá de referência no
cálculo da frequência esperada para esta garrafa. Primeiro calcule a velocidade do som
com a equação a seguir através da temperatura do ar (caso não saiba use valor de site meteorológico com informações locais). Com a velocidade do som e o tamanho da altura do liquido na garrafa padrão pode-se calcular com a outra equação a seguir as frequências esperadas ao se percutir som na garrafa. Nessa atividade a frequência padrão utilizada é
o valor da frequência da garrafa que representa a nota Dó.
Sendo n = número do harmônico, v = velocidade do som,
L = tamanho da coluna vazia dentro da garrafa.
- Depois de obter o valor da frequência da garrafa Dó
use-o para obter os outros valores de frequência da escala conforme mostrado na
figura 5.
- Com os valores de frequências calculados retorne na
equação que relaciona frequência e o tamanho do tubo e então encontre os valores de L (altura parte vazia da garrafa)
para cada garrafa que representa uma nota musical.
- Como foi sugestionado utilize a garrafa referência para obter o valor de f = 340 Hz (frequência fundamental da nota Dó). Para tal a altura da parte vazia
na garrafa deve ser de Ldó = 25 cm.
- Despeje o liquido nas garrafas até que a altura atinja
o valor calculado pela equação anterior (sobrar valor L dentro da garrafa).
- Coloque as garrafas alinhadas na ordem da escala de
7 notas usada neste material conforme figura 6.
- Execute a
calibração do valor da frequência para cada garrafa usando o sugerido afinador.
- Para fazer a calibragem basta ligar o aplicativo e
aproximar o microfone da parte aberta da garrafa (sem encostar o microfone).
- Depois da calibração o instrumento pode ser tocado
percutindo a vara nas garrafas.
ATIVIDADE PRÁTICA COM INSTRUMENTO MUSICAL
- Após calibrar instrumento toque alguma melodia simples (use alguma melodia cifrada de poucas notas) de preferência que possa fazer relação como poderia ser tocada essa melodia com outro instrumento (de percussão ou corda). Grave vídeo pequeno ( mais ou menos 5 minutos).
DISCUSSÃO SOBRE EXPERIMENTO
1- No xilofone ou em outro instrumento de corda ou percussão como caracterizar as notas graves ou agudas ( use a característica deste construído para tecer seus comentários)
2- A garrafa ao ser percutida forneceu a nota esperada no calculo? Se não ocorreu diga as possíveis causas.
3- A calibragem das garrafas foi boa? Diga formas de melhorar a calibragem.
4- É possível estabelecer relação da nota musical no xilofone com nota em outro instrumento? Explique usando elementos do instrumento construído.
Esta postagem está com as notas "provisórias" da NTI. Ainda precisa ser lançado o 0,5 que cada aluno perfaz ou não na nota da prova com respeito aos trabalhos em sala e experimento do BARCO A VAPOR. Não se esqueçam de levar para aula seus caderno com as assinaturas e a folha com o relatório do experimento ( lembrando que a apresentação do experimento pode ser em vídeo ou link de vídeo no YouTube e similares). Segue a lista com as notas seguir:
1810898007 9,0
18408041006 5,5
1810898004 8,0
18208040003 3,5
1810840008 5,7
1810899013 7,0
1810899018 9,0
18208099001 9,5
18108980001 7,7
18408098001 7,0
18408041054 1,0
1890889138 5,5
1890889071 9,0
18208099002 1,5
1890889143 2,5
18908898131 6,9
1890889098 9,5
1810899009 6,2
1890889095 8,0
18208099004 8,2
1890889149 7,5
1810899007 8,5
1810899011 7,7
18208099007 9,0
18408041067 7,7
18408041049 4,7
18408041071 5,8
18208098006 9,5
18408041082 8,5
18208090006 9,1
1810840004 7,7
18208040101 9,0
1790999098 6,0
18108998098 6,0
18108998004 5,3
18408041010 4,8
1890889117 9,1
18208098004 6,5
1810899006 7,0
1810899003 4,5
1890889116 8,0
1710899030 5,5
1890889100 1,0
1810898002 8,5
1890889069 8,5
18408041035 4,7
18408041025 9,5
1810441003 6,4
OBS: Caso sua nota não conste, verifique se sua matricula está na relação ou se existe alguma matricula digitada incorretamente. Me enviem mensagem sinalizando alguma falha.
Uma onda é um movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio qualquer. Um exemplo de onda é percebido ao ser jogada uma pedra em um lago de águas calmas, onde o impacto causará uma perturbação na água, fazendo com essa perturbações circulares a partir ponto que a pedra tocou a água.
Figura 7: Onda em duas dimensões se propagando na água Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/Ondas/classificacao2.php
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Conforme sua natureza as ondas são classificadas em:
Ondas Mecânicas: são ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, sua propagação envolve o transporte de energia cinética e potencial e depende da elasticidade do meio. Por isto não é capaz de propagar-se no vácuo. Alguns exemplos são os que acontecem em molas e cordas, sons e em superfícies de líquidos.
Ondas Eletromagnéticas: são ondas geradas por cargas elétricas oscilantes e sua propagação não depende do meio em que se encontram, podendo propagar-se no vácuo e em determinados meios materiais. Alguns exemplos são as ondas de rádio, de radar, os raios x e as microondas.
Todas as ondas eletromagnéticas tem em comum a sua velocidade de propagação no vácuo, próxima a 300000km/s, que é equivalente a 1080000000km/h.
Quanto a direção de propagação as ondas são classificadas como:
Unidimensionais: que se propagam em apenas uma direção, como as ondas em cordas e molas esticadas;
Bidimensionais: são aquelas que se propagam por uma superfície, como as água em um lago quando se joga uma pedra;
Tridimensionais: são capazes de se propagar em todas as dimensões, como a luz e o som.
Quanto à direção da vibração as ondas podem ser classificadas como:
Transversais: são as que são causadas por vibrações perpendiculares à propagação da onda, como, por exemplo, em uma corda:
Figura 8: Propagação do pulso direção de vibração. Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/Ondas/classificacao2.php
Longitudinais: são ondas causadas por vibrações com mesma direção da propagação, como as ondas sonoras.
Uma onda é formada por alguns componentes básicos que são:
Figura 9: Crista e vale de um fenômeno o. Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/Ondas/classificacao2.php
Onde:
- A a amplitude da onda.
- É denominado comprimento da onda, e expresso pela letra grega lambida (λ), a distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos.
- Chamamos período da onda (T) o tempo decorrido até que duas cristas ou dois vales consecutivos passem por um ponto e frequência da onda (f) o número de cristas ou vales consecutivos que passam por um mesmo ponto, em uma determinada unidade de tempo.
Portanto, o período e a frequência são relacionados por:
A unidade internacionalmente utilizada para a frequência é Hertz (Hz) sendo que 1Hz equivale à passagem de uma crista ou de um vale em 1 segundo.
Para o estudo de ondas bidimensionais e tridimensionais são necessários os conceitos de:
frente de onda: é a fronteira da região ainda não atingida pela onda com a região já atingida;
raio de onda: é possível definir como o raio de onda a linha que parte da fonte e é perpendicular às frentes de onda, indicando a direção e o sentido de propagação.
Figura 10: Propagação do pulso frente de onda e raio de propagação. Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/Ondas/classificacao2.php
A seguir temos um vídeo sobre os FENÔMENOS ONDULATÓRIOS:
Atividade 8
Após assistir o vídeo responda as perguntas as leve até professor para pedir o visto:
a) Explique como se forma a onda estacionária.
b) O que são os ventres e os nós segundo a explicação dada no vídeo?
c) Qual relação existe entre a frequência ( vibração) da mola e a formação de nós e ventres?
Um movimento oscilatório ocorre quando o sentido do movimento se alterna periodicamente, porém a trajetória é a mesma para ambos os sentidos. Este movimento é o descrito por pêndulos e cordas de guitarras e violões, por exemplo.
A figura abaixo representa uma corda em vibração, observe que mesmo se deslocando para baixo e para cima do ponto de origem ela sempre mantêm distâncias iguais de afastamento deste ponto.
Figura 1: Corda vibrando ( oscilação) Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/movpereosc2.php
Considere que o corpo começa a vibrar partindo da linha central mais escura, cada vez que a corda passar por esta linha, após percorrer todas as outras linhas consideradas, dizemos que ela completou um ciclo, uma oscilação ou uma vibração.
Sendo assim, o o movimento periódico, é o intervalo decorrido para que se complete um ciclo é chamado período do movimento (T) e o número de ciclos completos em uma unidade de tempo é a frequência de oscilação (f).
Oscilador Massa-Mola
Figura 2: Modelo de oscilador massa-mola Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/oscilador-harmonico.htm
No estudo do movimento harmônico simples, percebe-se que se trata de um movimento periódico e oscilatório. Sendo assim, cabe lembrar que um movimento oscilatório é todo movimento no qual uma mesma evento se repete em intervalos de tempos iguais.
Sendo assim, pode-se caracterizar um oscilador harmônico como sendo o dispositivo da figura acima. Nele tem-se um corpo de massa m sobre sobre uma superfície sem atrito, preso a uma mola helicoidal, ideal, cuja constante elástica vale k. O oscilador encontra-se em equilíbrio na posição O, ou seja, a mola está em seu estado natural.
Caso apliquemos uma força externa sobre o corpo, tentando esticar ou comprimir a mola, e em seguida soltarmos esse corpo, veremos que a massa começa a executar um MHS cujo período vale T. Pense agora que não haja forças dissipativas, o valor x do deslocamento efetuado é chamado de amplitude (A) do MHS. A trajetória retilínea do corpo é orientada; e o ponto O, de equilíbrio, é a sua origem.
Sendo assim, pode-se obter no ponto A com a mola esticada x = +a e com a mola comprimida no ponto B, x = -a. A força aplicada é, a cada instante, igual, em valor absoluto, à força elástica , expressa por:
Fel = -k.x (lei de Hooke)
O sinal tem significado atrelado ao tipo de força elástica. A força da lei de Hook é do tipo restauradora, ou seja, está sempre orientada para a posição O de equilíbrio.
Figura 3: Descrição do movimento oscilador massa mola. Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/oscilador-harmonico.htm
Note que, na posição de equilíbrio, ou seja, quando x = 0, a força elástica é nula; e nos extremos A e B, assume o valor máximo em módulo. Como:
(1)
m.γ=-k.x
(2)
Sendo T o período do MHS, e começando-se a contar o tempo (t = 0) a partir do ponto extremo B, as figuras seguintes representam as posições da partícula a cada um quarto de período, até completá-lo.
Figura 4: Descrição da velocidade do oscilador massa-mola ponto-a-ponto Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/oscilador-harmonico.htm
De acordo com a figura acima, temos:
1) t=0 ⇒x=-a (v=0) (3)
5) t=T⇒x=-a (v=0)
Nos pontos extremos, a velocidade é nula, pois a partícula está mudando de sentido; e na posição de equilíbrio, a velocidade é máxima.
Mesma descrição é aplicável em outras situações de oscilação. A equação (1) nos mostra que a posição do objeto esta atrelada a uma aceleração que varia com a constante mola e massa da mola. Verifica-se que este movimento oscilatório se repete na horizontal. Usando dos artifícios do cálculo diferencial e transformando a equação (1) em uma equação diferencial sua solução terá uma função de domínio e imagem do tipo cíclica, ou seja, fornecendo valores que se repetem dentro de um intervalo. A posição do corpo após um impulso em um tempo t é dada por onde: x é a elongação ( variação da posição objeto em função do ponto de retorno ou equilíbrio) é a frequência de vibração deste movimento oscilatório, A é a amplitude ou elongação máxima do movimento e ponto de partida inicial da massa em relação ao ponto de retorno. A velocidade do corpo após após impulso em um tempo t é A aceleração do corpo após após impulso em um tempo t é Pendulo Simples
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um ponto fixo, que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora ( semelhante a do sistema massa-mola) causada pela gravidade.
Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como um objeto de fácil previsão de movimentos e possibilita inúmeros avanços tecnológicos. Alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples e que tem maior utilização é o pêndulo simples.
Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma:
Figura 5: Movimento do pêndulo simples Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma:
Figura 6: Esquema das forças sobre massa no pêndulo Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php
A componente da força Peso que é dado por P.cosθ se anulará com a força de Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a P.senθ. Então:
No entanto, o ângulo θ, escrito em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por ℓ, assim:
Onde ao trocamos por F:
Assim é pode-se concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS, já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos muito pequenos, , o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este ângulo.
Então, ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação:
Como P=mg, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que:
Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:
Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS.
Como para qualquer MHS, o período é dado por:
e como
O período do pêndulo simples será expresso na formula abaixo:
Assista após leitura da teoria o vídeo abaixo sobre OSCILADOR HARMÔNICO:
PÊNDULO SIMPLES
Após assistir vídeo faça a atividade 6 descrita abaixo:
Atividade 6
Um estudante faz o estudo experimental de um movimento harmônico simples (MHS) com um cronômetro e um pêndulo simples como o da figura, adotando o referencial nela representado. Ele desloca o pêndulo para a posição +A e o abandona quando cronometra o instante t = 0. Na vigésima passagem do pêndulo por essa posição, o cronômetro marca t = 30 s.
a) Determine o período (T) e a frequência (f) do movimento desse pêndulo. b) Esboce o gráfico x (posição) versus t (tempo) desse movimento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere desprezível a influência de forças de atrito. (faça o desenho no papel, tire uma foto e poste sua foto).
OSCILADOR HARMÔNICO: EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES Anteriormente temos a imagem de uma EDO que modela o movimento do corpo variando sua posição, velocidade e aceleração em torno de ponto de equilíbrio (movimento periódico). Atividade 7 A partir da equação dada assista os vídeos abaixo e faça o que se pede: VIDEO 1 RESVOLVENDO EDO SEGUNDA E UM PVI
VIDEO 2 SOLUÇÃO DA EDO DO OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO E AMORTECIDO
Resolva o seguinte exercício: Uma mola de constante elástica k = 2000 N/m tem sua extremidade fixada na parede, e a outra num carrinho de massa m = 5kg, que pode se movimentar sobre uma superfície plana e sem atrito. A partir da posição de equilíbrio o carrinho é puxado para a direita até que a elongação da mola corresponda ao valor de x = 0,25 metros. Esse valor de elongação dado é valor de elongação máximo, ou seja, A ( amplitude. Depois de solto o carrinho se comporta como um oscilador harmônico simples. a) Calcule a solução da EDO do oscilador harmônico simples. b) Determine o período T e a frequência de oscilação desse conjunto. c) Determine as constantes de fase inicial e frequência de vibração para este caso específico.
). 
S/
.jpg)
aplicada é, a cada instante, igual, em valor absoluto, à força elástica , expressa por:
é a frequência de vibração deste movimento oscilatório, A é a amplitude ou elongação máxima do movimento e 
ponto de partida inicial da massa em relação ao ponto de retorno. 
